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\newcommand{\aeq}{\underset{\mu}{\stackrel{\cdot}{=}}}
\newcommand{\aconv}{\underset{\mu}{\stackrel{\cdot}{\rightarrow}}}

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\handout{160690220:\hspace{0.08cm}实变函数}{2025 Fall}{Lecture 9: 可测函数列的收敛性与Lebesgue可测函数的结构 }{Professor:\hspace{0.08cm}\emph{邓桂丰}}{\emph{邓桂丰, AI, 唐嘉琪}}

在上节课中, 我们考察了可测函数类对代数运算和极限运算的封闭性, 在那里并未出现测度. 从本节开始, 将在可测空间上引入测度, 讨论可测函数序列的两种与测度有关的重要收敛——几乎处处收敛和依测度收敛. 最后还要讨论在测度观念下的Lebesgue可测函数的结构. 

\section{测度空间和``几乎处处''}\label{section1}

{\color{red}\begin{definition}
	设$\mathbf R$是由集$X$的某些子集所成的环, $\mu$是环$\mathbf R$上的测度, 如果$E\in\mathbf R$使$\mu(E)<\infty$, 那么称$E$有\textbf{有限测度}.
	
	如果任何$E\in\mathbf R$都有有限测度, 那么就称测度$\mu$是\textbf{有限的}. 如果$X\in\mathbf R$, 即$\mathbf R$还是一个代数, 且$\mu(X)<\infty$, 那么就称测度$\mu$是\textbf{全有限的}.
\end{definition}

\begin{definition}
	设$\mathbf R$是由集$X$的某些子集所成的环, $\mu$是$\mathbf R$上的测度. 如果$E\subseteq \mathbf R$, 而且有一列$E_i\in\mathbf R, (i=1,2,\dots)$, 每个$E_i$都是有限测度且$E\subseteq\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i$, 那么称$E$的测度是\textbf{$\sigma$-有限的}. 如果每个$E\in\mathbf R$的测度是$\sigma$-有限的, 就说测度$\mu$是\textbf{$\sigma$-有限的}. 如果$X\in\mathbf R$, 即$\mathbf R$还是一个代数, 而且$X$的测度是$\sigma$-有限的, 那么就说测度$\mu$是\textbf{全$\sigma$-有限的}.
\end{definition}}

\begin{definition}
设 \((X,\mathbf R)\) 是可测空间, \(\mu\) 是 \(\mathbf R\) 上的测度, 称 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是\textbf{测度空间}. 当 \(\mu\) 是 \(\mathbf R\) 上的有限测度, 或是 \(\mathbf R\) 上的全有限测度、\(\sigma\)-有限测度、全 \(\sigma\)-有限测度时, 相应地称 \((X, \mathbf R, \mu)\) 是\textbf{有限测度空间}, 或是\textbf{全有限测度空间、\(\sigma\)-有限测度空间、全 \(\sigma\)-有限测度空间}. 
\end{definition}

\begin{example}\label{eg1}
\((\mathbb E^1,\mathbf L, m)\) 是全 \(\sigma\)-有限测度空间. 

通常称 \((\mathbb E^1,\mathbf L, m)\) 是\textbf{Lebesgue测度空间}. 

同样, \((\mathbb E^1,\mathbf L^g, g)\) 也是全 \(\sigma\)-有限测度空间. 特别, 当 \(g(+\infty) - g(-\infty) < \infty\) 时, \((\mathbb E^1,\mathbf L^g, g)\) 还是全有限的测度空间. 

通常称 \((\mathbb E^1, L^g, g)\) 是 (由 \(g\) 导出的) \textbf{Lebesgue-Stieltjes测度空间}. 
\end{example}

引入测度的目的是在于建立积分, 可以设想, 具有零测度的集在积分中实质上不影响可积性和积分效果, 所以在积分的理论中, ``几乎处处''是重要的观念. 

\begin{definition}[几乎处处]
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(P\) 是与 \(E\) 中的点有关的某个命题. 如果存在一个测度为零的集 \(E_0\), 当 \(x \in E - E_0\) 时, 命题 \(P\) 都成立, 我们称命题 \(P\) 在 \(E\) 上\textbf{几乎处处}成立, 或称在 \(E\) 上\textbf{概}成立. 
\end{definition}

换言之, 所谓命题 \(P\) 在 \(E\) 上几乎处处成立, 就是 \(E\) 中使得命题 \(P\) 不成立的点总是包含在某个测度为零的集中. 注意, 这里 \(E\) 本身并不一定是可测集, \(E_0\) 也不必要求包含在 \(E\) 中, 但当 \(E\) 是可测集时, \(E_0\) 就可不妨取为 \(E\) 的子集 (否则用 \(E \cap E_0\) 代替 \(E_0\) 即可) . 

例如``函数 \(f\) 和 \(h\) 在 \(E\) 上是几乎处处相等''意即 \(E\) 中使得 \(f(x) \ne h(x)\) 的那些 \(x\) 全体是包含在某个测度为零的集 \(E_0\) 中, 而对于 \(x \in E - E_0\), 总有 \(f(x)= h(x)\). 我们用 \(f \aeq h\) 或用 \(f\underset\mu  = h, \text{a.e.}\) 表示``函数 \(f\) 和 \(h\) 在 \(E\) 上几乎处处相等''. 这里``$\cdot$''和``\text{a.e.}''表示``几乎处处'', 而等号下的``\(\mu\)''表示这里的``几乎处处''是对测度 \(\mu\) 而言的. 因为在一般情况下, 在一个可测空间 \((X,\mathbf R)\) 上可以同时引入许多测度, 一个 \(\mathbf R\) 中的集 \(E_0\) 可以是某个测度的零集, 但可能不是另外一个测度的零集. 因而在用``几乎处处''这个术语时, 必需要注明是对那个测度说的. 所以, 在多个测度情况下, ``\(\mu\)''必须标出. 当然, 在仅出现一个测度的场合, ``\(\mu\)''自然可以省去. 

又如, ``在 \(E\) 上 \(f\) 几乎处处大于 \(h\)''就是 \(f(x) \leqslant h(x)\) 的所有 \(x\) 全体是包含在某个测度为零的集 \(E_0\) 中, 记为 \(f\underset{\mu}{\stackrel\cdot >} h\) (或 \(f\underset\mu > h, \text{a.e.}\)) . 

再如, ``\(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\)''就是 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)\) 不存在的点, 或虽存在但 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) \neq f(x)\) 的点 \(x\) 的全体是包含在某个测度为零的集 \(E_0\) 中, 记为 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n \aeq f\) (或 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n\underset\mu = f, \text{a.e.}\)) , 或简记为 \(f_n \aconv f\) (或 \(f_n\underset\mu \to f, \text{a.e.}\)) . 

\begin{theorem}\label{thm3.2.1}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(f_n\) 是 \(E\) 上一列可测函数. 如果 \(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛, 那未必存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), 使得 \(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
因为 \(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛, 所以存在 \(\mu\)-零集 \(E_0\) (不妨设 \(E_0 \subseteq E\)) 使得 \(f_n\) 在 \(E - E_0\) 上处处收敛. 因为 \(E - E_0\) 是 \(E\) 的可测子集, 所以根据Lecture 8 的推论 15, \(f_n\) 在 \(E - E_0\) 上必收敛于 (在 \(E - E_0\) 上的) 可测函数 \(f_1\). 今作 \(E\) 上函数
\[
f(x) =
\begin{cases}
f_1(x), & x \in E - E_0 \\
0, & x \in E_0
\end{cases}
\]
再根据Lecture 8 定理 10 的 3, \(f\) 是 \(E\) 上可测函数. 显然
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \quad x \in E - E_0
\]
即除去 \(\mu\)-零集 \(E_0\) 外, \(f_n\) 收敛于 \(E\) 上可测函数 \(f\). 
\end{proof}

\begin{theorem}\label{thm3.2.2}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(f_n\) 是 \(E\) 上的可测函数序列. 如果 \(f_n\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(h\), 那么必存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), 使得 \(f \aeq h\) (自然 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n \aeq f\)) . 
\end{theorem}

\begin{proof}
因为 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n = h\), 所以存在 \(\mu\)-零集 \(E_1\), 不妨设 \(E_1 \subseteq E\), 使得
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = h(x), \quad x \in E - E_1,
\]
由 \(f_n\) 的几乎处处收敛性, 从定理 \ref{thm3.2.1}, 立即知道存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), \(\mu\)-零集 \(E_0 \subseteq E\), 使得
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \quad x \in E - E_0,
\]
因此 \(E(f = h) \supseteq (E - E_1) \cap (E - E_0)\), 从而 \(E(f \neq h) \subseteq E_1 \cup E_0\). 显然, \(\mu(E_1 \cup E_0) = 0\), 所以 \(f \aeq h\). 
\end{proof}

\begin{example}\label{eg2}
取 \(X = (0, \infty)\), \(\mathbf R =\mathbf S(\mathbf E)\), 而 \(\mathbf E = \{(n, n+1], n=0, 1, 2, \dots\}\), \(\mu\) 是 \(\mathbf R\) 上恒取零的集函数 (显然, 它是一个测度) . 设 \(f_n (n=1, 2, \dots)\) 是在每个区间 \((k, k+1] (k=0, 1, 2, \dots)\) 上取常数值 \(c_k^{(n)}\). 显然, 每个 \(f_n\) 是 \(X\) 上的 (关于 \((X, R)\) 的可测函数. 因为 \(\mu(X) = 0\), 所以对任意选取的定义在 \(X\) 上的函数 \(h\), 总有
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n \aeq h
\]
但应注意, 很多 \(h\) 都不是 \(X\) 上 (关于 \((X,\mathbf R)\) 的可测函数, 例如 \(h(x) = x\) 就不是 \(X\) 上 (关于 \((X,\mathbf R)\) 的可测函数. 定理 \ref{thm3.2.2} 说明总可以找到\textbf{可测的}函数 \(f\), 使得 \(f \aeq h\). 在此例中, 例如我们可取 \(X\) 上 \(f = 0\) 这个函数. 
\end{example}

\section{依测度收敛}\label{section2}

现在, 我们引进一种用测度描述的函数列的另一重要的收敛概念. 

\begin{definition}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(f_n\) 是 \(E\) 上的一列可测函数. 假如有一个有限的函数\footnote{我们这里并没有假定$f$在$E$上是可测函数, 只假定$|f-f_n|$是可测函数.} \(f\), 它和 \(f_n\) 满足下面的关系: 对任何 \(\varepsilon > 0\),
\begin{equation}
	\lim\limits_{n \to \infty} \mu (E(|f - f_n| > \varepsilon)) = 0, \label{3.2.1}
\end{equation} 
就称 \(\{f_n\}\) (在 \(E\) 上) 依测度 \(\mu\) 收敛于 \(f\), 或称 \(\{f_n\}\) (在 \(E\) 上关于测度 \(\mu\)) 度量收敛于 \(f\). 记为
\[
f_n\underset\mu \Longrightarrow f.
\]
\end{definition}

依测度收敛的另一个等价定义是: 

\begin{definition}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数. 假如有一个有限的函数 \(f\), 它和 \(\{f_n\}\) 满足下面的关系: 对任何 \(\varepsilon > 0\) 以及 \(\delta > 0\), 存在 (只依赖于 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 的) 自然数 \(N\), 使得当 \(n \geqslant N\) 时, 成立着
\begin{equation}
\mu (E(|f_n - f| > \varepsilon)) < \delta \label{3.2.2}	
\end{equation}
就称 \(\{f_n\}\) (在 \(E\) 上) 依测度 \(\mu\) 收敛于 \(f\). 
\end{definition}

显然, 第二个定义不过是将第一个定义中的表达式
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \mu (E(|f_n - f| > \varepsilon)) = 0
\]
改为用 \(\delta\)-\(N\) 来陈述而已. 所以这两种定义方式的等价性是显然的. 

这是一种什么样的收敛呢？用文字来叙述, 就是说, 如果事先给了一个 (误差) \(\varepsilon > 0\), 不管这个 \(\varepsilon\) 有多小, 使得 \(|f_n(x) - f(x)|\) 大于 (误差) \(\varepsilon\) 的点 \(x\) 虽然可能很多, 但这种点 \(x\) 的全体用测度来衡量, 它的测度却是随着 \(n\) 无限地增大而趋向于零. 

在概率论中, 常用 \(\mu\) 表示概率, 这时依测度收敛称为依概率收敛. 

我们先举两个例子, 来说明这种收敛概念和我们所熟悉的处处收敛或几乎处处收敛概念是有很大区别的. 

\begin{example}[存在依测度收敛而处处不收敛的函数列]\label{eg3}
在Lebesgue测度空间 \((\mathbb E^1,\mathbf L, m)\) 上, 取 \(E = (0, 1]\), 将 \((0, 1]\) 等分, 定义两个函数: 
\[
f_{1}^{(1)} =
\begin{cases}
1, & x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right], \\
0, & x \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right].
\end{cases}\quad
\quad f_{2}^{(1)} =
\begin{cases}
0, & x \in \left(0, \dfrac{1}{2}\right], \\
1, & x \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right],
\end{cases}
\]
然后, 同样地将 \((0, 1]\) 四等分、八等分、⋯⋯等等. 一般地, 对每个 \(n\), 作 \(2^n\) 个函数: 
\[
f_{j}^{(n)}(x) =
\begin{cases}
1, & x \in \left(\dfrac{j-1}{2^n}, \dfrac{j}{2^n}\right], \\
0, & x \notin \left(\dfrac{j-1}{2^n}, \dfrac{j}{2^n}\right],
\end{cases}
\quad j=1, \dots, 2^n,
\]
我们把 \(\{f_j^{(n)}, j=1, 2, \dots, 2^n\}\) 先按 \(n\) 后按 \(j\) 的顺序逐个地排成一列: 
\[
f_{1}^{(1)}, f_{2}^{(1)}, f_{1}^{(2)}, f_{2}^{(2)}, f_{3}^{(2)}, f_{4}^{(2)}, \dots, f_{1}^{(n)}, f_{2}^{(n)}, \dots, f_{2^n}^{(n)}, \dots
\]
\(f_j^{(n)}\) 在这个序列中是第 \(N = 2^n - 2 + j\) 个函数. 我们说, 这个序列是依Lebesgue测度 \(m\) 收敛于零的. 这是因为对任何 \(\varepsilon > 0\), 
\[
E(|f_j^{(n)} - 0| > \varepsilon)
\]
或是空集 (当 \(\varepsilon > 1\)) 或是 \(\left(\frac{j-1}{2^n}, \frac{j}{2^n}\right)\) (当 \(0 < \varepsilon < 1\)) , 所以
\[
m(E(|f_j^{(n)} - 0| > \varepsilon)) = \frac{1}{2^n}
\]
由于当 \(N = 2^n - 2 + j\) (\(j=1, \dots, 2^n\)) 趋于 \(\infty\) 时, \(n \to \infty\). 由此可见
\[
\lim\limits_{n \to \infty} m(E(|f_j^{(n)} - 0| > \varepsilon)) = 0,
\]
即 \(f_j^{(n)}\underset\mu \Longrightarrow 0\). 

但是, 函数列 \(\{f_j^{(n)}\}\) 在 \((0, 1]\) 上的任何一点都不收敛！这是因为对任何 \(x_0 \in (0, 1]\), 无论 \(n\) 多么大, 对这个 \(n\), 必有一个相应的 \(j\), 使
\[
x_0 \in \left(\frac{j-1}{2^n}, \frac{j}{2^n}\right]
\]
因而 \(f_j^{(n)}(x_0) = 1\), 然而 \(f_{j+1}^{(n)}(x_0) = 0\) 或 \(f_{j-1}^{(n)}(x_0) = 0\). 换句话说, 对任何 \(x_0 \in (0, 1]\) 在 \(\{f_j^{(n)}(x_0)\}\) 中必有两个子数列, 一个恒为 1, 另一个恒为零, 所以 \(\{f_j^{(n)}(x)\}\) 在 \((0, 1]\) 中任何一点 \(x\) 上是发散的. 
\end{example}

反过来, 是不是一个几乎处处收敛的序列 \(\{f_n\}\), 一定是依测度收敛呢？下面例子说明也不是如此. 

\begin{example}\label{eg4}
在Lebesgue测度空间 \((\mathbb E^1,\mathbf L, m)\) 上, 取 \(E = (0, \infty)\), 作函数列
\[
f_n(x) =
\begin{cases}
1, & x \in (0, n], \\
0, & x \in (n, \infty),
\end{cases}
\quad n = 1, 2, \dots
\]
显然, \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上处处收敛于 $1$. 但是, 当 \(0 < \varepsilon < 1\) 时, 
\[
E(|f_n - 1| > \varepsilon) = (n, \infty),
\]
然而 \(m((n, \infty)) = \infty\), 所以 \(\{f_n\}\) 不依测度收敛于 $1$. 
\end{example}
{\color{red}\begin{rmk}
	处处收敛(逐点收敛)自然是几乎处处收敛
\end{rmk}}
从上述例看出两种收敛区别很大, 它们的区别正是在于: 假如固定任一个 \(\varepsilon > 0\), 那么 \(f_n\) 处处收敛于 \(f\) 的特点是
\begin{enumerate}
	\item 对 \(E\) 中每点 \(x_0\), 总有一个指标 \(n(x_0)\), 对于从 \(n(x_0)\) 以后的一切 \(n\), \(|f_n(x_0) - f(x_0)| \leqslant \varepsilon\), 即
\[
x_0 \in \bigcap\limits_{n=n(x_0)}^\infty E(|f_n - f| \leqslant \varepsilon);
\]
	\item 对于每个指标 \(n\) 来说, 使得 \(|f_n(x) - f(x)| > \varepsilon\) 的点 \(x\) 全体却可能有较大的测度, 甚至总是无限大, 如例 \ref{eg4} 那样.
\end{enumerate}
{\color{red}\begin{rmk}
	这里从原教材上的特点可以发现其写的是``处处收敛'', 即``逐点收敛''. 但从这段旁白最后``尽管两种收敛区别很大, 但还是有密切联系的. 下面就是两种收敛的联系.''并联系下面定理, 我们发现, 其\textbf{实则想要阐述``几乎处处收敛''和``依测度收敛''的区别. 而并非``处处收敛''和``依测度收敛''的区别.}
	
	因此这里\textbf{补充}给出几乎处处收敛的特点: 即其不收敛到$f$(同时包含发散和收敛到其他值的情况)的点全体是零测集的一个子集. 例 \ref{eg3} 中所有点都不收敛; 例 \ref{eg4} 中不收敛的点的全体是$\varnothing$, 其自然零测.
\end{rmk}}
而依测度收敛的特点是完全相反, 它的特点是
\begin{enumerate}
	\item \(E(|f_n - f| > \varepsilon)\) 的测度一定要随 \(n \to \infty\) 而趋向零；
	\item  而对每个 \(x_0\) 来说, 却未必存在某指标 \(n(x_0)\), 使得
\[
x_0 \in \bigcap\limits_{i=n(x_0)}^\infty E(|f_i - f| \leqslant \varepsilon)
\]
甚至可能对每个指标 \(n\), 集
\[
\bigcap\limits_{i=n}^\infty E(|f_i - f| \leqslant \varepsilon)
\]
始终是空集, 如例 \ref{eg3} 那样.
\end{enumerate} 

尽管两种收敛区别很大, 但还是有密切联系的. 下面就是两种收敛的联系. 

\begin{theorem}[F. Riesz]\label{thm3.2.3}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\). 如果在 \(E\) 上可测函数列 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(f\), 那么必有子序列 \(\{f_{n_v}\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
对任何自然数 \(\nu\), 取 \(\varepsilon = \frac{1}{2^\nu}, \delta = \frac{1}{2^\nu}\), 根据 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\), 由 \eqref{3.2.2}, 必然有自然数 \(n_\nu\), 使得当 \(n \geqslant n_\nu\) 时, \(\mu\big(E(|f_n - f| > \frac{1}{2^\nu})\big) < \frac{1}{2^\nu}\). 因此
\[
\mu(E_\nu) < \frac{1}{2^\nu}, \quad \nu = 1, 2, \dots
\]
这里 \(E_\nu = E(|f_{n_\nu} - f| > \frac{1}{2^\nu})\). 不妨在这个取 \(n_\nu\) 时把 \(n_\nu\) 取得充分大, 使得 \(n_1 < n_2 < \cdots < n_\nu < n_{\nu+1} < \cdots\). 本定理证明的关键在于作通集
\[
F_k = \bigcap\limits_{v=k}^{\infty} (E - E_\nu)
\]
由于 \(E - E_\nu = E\big(|f_{n_\nu} - f| \leqslant \frac{1}{2^\nu}\big)\), 所以 \(F_k = E\big(|f_{n_\nu} - f| \leqslant \frac{1}{2^\nu}, \nu = k, k+1, \dots\big)\). 显然, 在 \(F_k\) 上, 序列 \(\{f_{n_\nu}\}\) 收敛于 \(f\) (其实还是一致收敛于 \(f\)) . 作 \(F = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} F_k\), 那么 \(\{f_{n_\nu}\}\) 在 \(F\) 上处处收敛于 \(f\). 

现在只要证明 \(\mu(E - F) = 0\) 就行了. 由于和通关系式
\[
E - F = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} (E - F_k) = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{\nu=k}^{\infty} E_\nu = \limsup\limits_{\nu \to \infty} E_\nu
\]
以及 \(\sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \mu(E_\nu) \leqslant \sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \frac{1}{2^\nu} = 1\). 根据Lecture 5 定理 6 的 10,
\[
E - F = \limsup\limits_{\nu \to \infty} E_\nu
\]
是个 \(\mu\)-零集. 证毕. 
\end{proof}

对于我们前面例 \ref{eg3} 中的函数列, 它的子序列
\[
f_{1}^{(1)}, f_{1}^{(2)}, \dots, f_{1}^{(n)}, \dots
\]
便是在 \((0, 1]\) 上处处收敛于零的. 

下面定理说明几乎处处收敛的序列是在什么条件下, 必然是依测度收敛的. 

\begin{theorem}\label{thm3.2.4}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), 又设 \(\{f_n\}\) 是在 \(E\) 上几乎处处收敛于可测函数 \(f\) 的可测函数的序列. 如果 \(\mu(E) < \infty\), 那么 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上必然依测度收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
根据几乎处处收敛的假设, 存在 \(\mu\)-零集 \(E_0\), 使得
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)
\]
在 \(E_1 = E - E_0\) 上成立. 我们先证明, 对任何固定的 \(\varepsilon > 0\), 下式成立
\begin{equation}
	E_1 = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon) \label{3.2.3}
\end{equation}
事实上, 对任何 \(x_0 \in E_1\), 必存在 \(N(x_0)\), 使得当 \(n \geqslant N(x_0)\) 时, 
\[
|f_n(x_0) - f(x_0)| \leqslant \varepsilon
\]
成立. 因此
\[
x_0 \in \bigcap\limits_{n=N(x_0)}^{\infty} E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon). 
\]
\(x_0\) 是任意取的, 所以
\[
E_1 \subseteq \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon). 
\]
而
\[
E_1 \supseteq \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon)
\]
是显然的, 所以 \eqref{3.2.3} 成立, 即
\[
E_1 = \liminf\limits_{n \to \infty} E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon). 
\]

根据 Lecture 5 定理 6 的 7 得到
\begin{equation}
	\mu(E) = \mu(E_1) \leqslant \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon)) \label{3.2.4}
\end{equation}
从而
\[
\limsup\limits_{n \to \infty} \mu(E_1(|f_n - f| > \varepsilon)) = \limsup\limits_{n \to \infty} [\mu(E_1) - \mu(E_1(|f_n - f| \leqslant \varepsilon))] = 0. 
\]
然而
\[
E(|f_n - f| > \varepsilon) \subseteq E_1(|f_n - f| > \varepsilon) \cup (E - E_1),
\]
所以
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \mu(E(|f_n - f| > \varepsilon)) = 0. 
\]
\end{proof}

前面的例 \ref{eg4} 已说明定理 \ref{thm3.2.4} 中的 \(\mu(E) < \infty\) 这个条件是不能去掉的. 定理 \ref{thm3.2.4} 告诉我们, 在 \(\mu(E) < \infty\) 的条件下, 依测度收敛的要求弱于几乎处处收敛的要求. 

\begin{corollary}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(E\) 上可测函数列 \(f_n\) (在 \(E\) 上) 几乎处处收敛于有限函数 \(h\). 如果 \(\mu(E) < \infty\), 那未必存在 \(E\) 上的可测函数 \(f\), 使得 \(f \aeq h\), 并且 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\). 
\end{corollary}

\begin{proof}
根据假设, 从定理 \ref{thm3.2.2} 可知, 必存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), 使得 \(f \aeq h\), 并且 \(\lim\limits_{n \to \infty} f_n \aeq f\). 再利用定理 \ref{thm3.2.4} 立即得本系的结论.
\end{proof}

由定理 \ref{thm3.2.3}, \ref{thm3.2.4} 立即可以得到用几乎处处收敛到划依测度收敛的一个定理如下. 

\begin{theorem}\label{thm3.2.5}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\mu(E) < \infty\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的可测函数列, \(f\) 是 \(E\) 上可测函数, 那么 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\) 的充要条件是: 对 \(\{f_n\}\) 的任一子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 都可以从中再找到一个子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
必要性: 如果 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\), 那么它的任何子序列 \(\{f_{n_k}\}\), 显然也有 \(f_{n_k}\underset\mu \Longrightarrow f\). 对 \(\{f_{n_k}\}\) 和 \(f\) 应用定理 \ref{thm3.2.3}, 必有子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\). 

充分性: 设 \(\{f_n\}\) 的任何子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 都有子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\), 令证 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\). 假若不对, 那么存在 \(\varepsilon > 0\), 使得
\[
\mu(E(|f_n - f| > \varepsilon))
\]
不收敛于零, 因此必有子序列 \(\{f_{n_k}\}\), 使得
\begin{equation}
	\lim\limits_{k \to \infty} \mu(E(|f_{n_k} - f| > \varepsilon)) > 0 \label{3.2.5}
\end{equation}
这样一来, \(\{f_{n_k}\}\) 中就不能存在几乎处处收敛于 \(f\) 的子序列. 因为如果有子序列 \(\{f_{n_{k_j}}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\), 那么根据定理 \ref{thm3.2.4}, 
\[
\lim\limits_{j \to \infty} \mu(E(|f_{n_{k_j}} - f| > \varepsilon)) = 0
\]
这和 \eqref{3.2.5} 相矛盾.
\end{proof}

在测度空间上, 依测度收敛还有如下一些基本性质. 

\begin{theorem}\label{thm3.2.6}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\mu(E) < \infty\), \(\{f_n\}\), \(\{g_n\}\) 都是 \(E\) 上可测函数的序列, 而且 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\), \(g_n \underset\mu\Longrightarrow g\), 那么
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item\label{thm3.2.6.1} \(f\) 必几乎处处等于一个 \(E\) 上可测函数；
\item\label{thm3.2.6.2} 如果又有 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow h\), 那么 \(f \aeq h\)；
\item\label{thm3.2.6.3} 如果 \(f, g\) 是 \(E\) 上可测的, \(\alpha, \beta\) 是两个数, 那么 \(\alpha f_n + \beta g_n \underset\mu\Longrightarrow \alpha f + \beta g\)；
\item\label{thm3.2.6.4} 如果 \(f, g\) 是 \(E\) 上可测的, 那么 \(f_n g_n \underset\mu\Longrightarrow f g\)；
\item\label{thm3.2.6.5} 如果 \(g_n\) 和 \(g\) 几乎处处不等于零, 且 \(f, g\) 都是 \(E\) 上可测的, 那么 \(f_n / g_n \underset\mu\Longrightarrow f / g\) (这里在 \(g_n, g\) 为零的一个零集上, 可规定函数 \(f_n / g_n, f / g\) 为任意的数值) . 
\end{enumerate}
\end{theorem}

读者可以利用定理 \ref{thm3.2.5} 等来证明这些性质. 读者应注意, 对于性质 \ref{thm3.2.6.1}, \ref{thm3.2.6.2}, \ref{thm3.2.6.3} 来说, 定理 6 中的假设 \(\mu(E) < \infty\) 是不必要的 (对 \ref{thm3.2.6.4}, \ref{thm3.2.6.5} 是不可少的) , 这里假设 \(\mu(E) < \infty\) 只是为了证明起来方便. 

类似于数学分析中讨论序列收敛性时, 常常用``基本序列''这样一个重要概念. 对于依测度收敛的讨论, 也可引入依测度基本序列的概念. 

\begin{definition}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数, 如果对任何 \(\varepsilon > 0\), 
\[
\lim\limits_{\substack{m\to\infty\\n\to\infty}} \mu \big(E(|f_n - f_m| > \varepsilon)\big) = 0
\]
就称 \(\{f_n\}\) 是 (在 \(E\) 上关于 \(\mu\)) \textbf{依测度基本序列}, 或\textbf{度量基本序列}. 
\end{definition}

显然, 依测度基本序列的另一个等价定义是: 

\begin{definition}
设 \((X, R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上的一列可测函数, 如果对任何 \(\varepsilon > 0\), \(\delta > 0\), 存在只依赖于 \(\varepsilon\) 和 \(\delta\) 的 \(N\), 使得当 \(n, m \geqslant N\) 时, 
\[
\mu (E(|f_n - f_m| > \varepsilon)) < \delta
\]
就称 \(\{f_n\}\) 是 (在 \(E\) 上关于 \(\mu\)) 依测度基本序列. 
\end{definition}

依测度基本序列与依测度收敛序列的关系如下: 

\begin{theorem}\label{thm3.2.7}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数, 它成为 (在 \(E\) 上) 依测度基本序列的充要条件是: 存在某个 \(E\) 上的可测函数 \(f\), 使得 \(\{f_n\}\) (在 \(E\) 上) 依测度收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

为证明这个定理, 先引入如下引理. 

\begin{lemma}\label{lemma1}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是可测集 \(E\) 上的依测度基本序列, 如果有子序列 \(\{f_{n_v}\}\) 依测度收敛于 \(E\) 上的可测函数 \(f\), 那么 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\). 
\end{lemma}

\begin{proof}
根据假设, 对任何 \(\varepsilon > 0\), \(\delta > 0\), 有 \(N\), 使当 \(n, m \geqslant N\), \(n_v > N\) 时, 
\begin{equation}
	\mu \left( E \left( |f_n - f_m| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right) < \frac{\delta}{2}, \quad \mu \left( E \left( |f_{n_\nu} - f| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right) < \frac{\delta}{2} \label{3.2.6}
\end{equation}

由于 \(|f_n - f| \leqslant |f_n - f_{n_\nu}| + |f_{n_\nu} - f|\), 所以当 \(|f_n - f| > \varepsilon\) 时, 必然有 \(|f_n - f_{n_\nu}| > \frac{\varepsilon}{2}\) 或者 \(|f_{n_\nu} - f| > \frac{\varepsilon}{2}\), 这就是说, 
\[
E(|f_n - f| > \varepsilon) \subseteq E \left( |f_n - f_{n_\nu}| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \cup E \left( |f_{n_\nu} - f| > \frac{\varepsilon}{2} \right),
\]
将 \eqref{3.2.6} 中 \(m\) 取为 \(n_\nu\), 便知道当 \(n > N\) 时, 
\begin{equation}
	\mu \left( E(|f_n - f| > \varepsilon) \right) \leqslant \mu \left( E \left( |f_n - f_{n_\nu}| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right) + \mu \left( E \left( |f_{n_\nu} - f| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right) < \delta \label{3.2.7}
\end{equation}
这就是说 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\).
\end{proof}

\begin{proof}[定理 \ref{thm3.2.7} 的证明]
充分性较显然. 由于 \(|f_n - f_m| \leqslant |f_n - f| + |f_m - f|\), 完全类似 \eqref{3.2.7} 的证明有
\[
\mu \left( E(|f_n - f_m| > \varepsilon) \right) \leqslant \mu \left( E \left( |f_n - f| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right) + \mu \left( E \left( |f_m - f| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right).
\]
根据 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\), 当 \(n, m \to \infty\) 时, 上式右边趋于零, 所以左边也趋于零, 因此 \(\{f_n\}\) 为依测度基本序列. 

必要性: 设 \(\{f_n\}\) 是依测度基本序列, 现在要证明存在一个可测函数 \(f\), 使得 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\). 首先要作出 \(f\). 为此, 用类似定理 \ref{thm3.2.3} 的方法, 先证明依测度基本序列必有子序列几乎处处收敛；取 \(\varepsilon = \delta = \frac{1}{2^\nu}\), 由于 \(\{f_n\}\) 是依测度基本序列, 所以必然存在 \(n_\nu\), 使得 \(n, m \geqslant n_\nu\) 时, 
\begin{equation}
	\mu \left( E \left( |f_n - f_m| > \frac{1}{2^v} \right) \right) < \frac{1}{2^v} \label{3.2.8}
\end{equation}
不妨设 \(n_\nu < n_{\nu+1}, \nu = 1, 2, \dots\). 由 \eqref{3.2.8} 得到
\begin{equation}
	\mu \left( E \left( |f_{n_\nu} - f_{n_{\nu+1}}| > \frac{1}{2^\nu} \right) \right) < \frac{1}{2^\nu} \label{3.2.9}
\end{equation}
作通集
\begin{equation}
	F_k = \bigcap\limits_{\nu=k}^{\infty} E \left( |f_{n_{\nu+1}} - f_{\nu_v}| \leqslant \frac{1}{2^\nu} \right)
= E \left( |f_{n_{\nu+1}} - f_{n_\nu}| \leqslant \frac{1}{2^\nu}, \nu \geqslant k \right) \label{3.2.10}
\end{equation}
和定理 \ref{3.2.3} 中证明完全类似地得到
\[
\mu (E - F_k) \leqslant \frac{1}{2^{k-1}}
\]
从而 \(\{f_{n_\nu}\}\) 在 \(F = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} F_k\) 上处处收敛, 而且 \(\mu (E - F) = 0\). 

记 \(\{f_{n_\nu}\}\) 在 \(F\) 上的极限函数为 \(f\), 把函数 \(f\) 延拓到 \(E\) 上 (补充在 \(E - F\) 上规定 \(f = 0\)) 后仍记为 \(f\). 显然 \(f\) 是 \(E\) 上可测函数 \(f_{n_\nu} \aconv f\). 对于 \(f\), 根据 \eqref{3.2.10}, 有如下的估计式: 对任何 \(k\), 在 \(F_k\) 上
\begin{equation}
	|f_{n_k} - f| = \lim\limits_{k^{\prime} \to \infty} |f_{n_k} - f_{n_{k^{\prime}}}| \leqslant \lim\limits_{k^{\prime} \to \infty} \sum\limits_{j=k}^{k^{\prime}-1} |f_{n_{j+1}} - f_{n_j}| \leqslant \sum\limits_{j=k}^{\infty} \frac{1}{2^j} = \frac{1}{2^{k-1}} \label{3.2.11}
\end{equation}
所以 \(F_k \subseteq E \left( |f_{n_k} - f| \leqslant \frac{1}{2^{k-1}} \right)\). 因此
\begin{equation}
	\mu \left( E \left( |f_{n_k} - f| > \frac{1}{2^{k-1}} \right) \right) \leqslant \mu (E - F_k) < \frac{1}{2^{k-1}} \label{3.2.12}
\end{equation}

对任何 \(\varepsilon > 0, \delta > 0\), 取自然数 \(u\) 使得 \(\frac{1}{2^u} < \min(\varepsilon, \delta)\), 那么由 \eqref{3.2.12}, 当 \(k > u\) 时, 
\[
\mu (E (|f_{n_k} - f| > \varepsilon)) \leqslant \mu \left( E |f_{n_k} - f| > \frac{1}{2^{k-1}} \right) < \delta
\]
因此 \(f_{n_k} \underset\mu\Longrightarrow f\). 再由引理 \ref{lemma1} 可知 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\).
\end{proof}

\begin{corollary}\label{coro3.2.7}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上可测函数序列. 如果存在 \(E\) 上有限函数 \(h\), 使得 \(f_n \Longrightarrow h\), 那么必存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), 使得 \(f \aeq h\), 并且 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\). 
\end{corollary}

\begin{proof}
对任何 \(\varepsilon > 0\), 由于
\[
E (|f_n - f_m| > \varepsilon) \subseteq \left[ E \left( |f_n - h| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \cup E \left( |f_m - h| > \frac{\varepsilon}{2} \right) \right],
\]
因此 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上是依测度基本的. 由定理 \ref{thm3.2.7}, 存在 \(E\) 上可测函数 \(f\), 使得 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\). 再由定理 \ref{thm3.2.6} 的 \ref{thm3.2.6.2}, 又得到 \(f \aeq h\). 证毕. 
\end{proof}

前面讨论了依测度收敛和几乎处处收敛关系, 下面再介绍爱戈洛夫关于收敛的可测函数列的一个重要定理, 它指出了几乎处处收敛与一致收敛之间的联系. 

\begin{theorem}[爱戈洛夫]\label{thm3.2.8}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, \(E \subseteq X\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列可测函数, \(\mu(E) < \infty\), 如果 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于有限函数 \(f\), 那么, 对任何 \(\delta > 0\), 必定存在 \(E\) 中可测子集 \(E_\delta\), 使得 \(\mu (E - E_\delta) < \delta\), 而且在 \(E_\delta\) 上, \(\{f_n\}\) 一致收敛于 \(f\). 
\end{theorem}

\begin{proof}
注意结论中只要求在 \(E\) 中挖去一个测度小于 \(\delta\) 的集后 \(\{f_n\}\) 一致收敛. 又由于定理 \ref{thm3.2.2}, 所以今后不妨设 \(f\) 是 \(E\) 上可测函数 (否则修改一个 \(\mu\)-零集上的值, 使 \(f\) 可测, 而把这个修改的 \(\mu\)-零集放入被控掉的集中就可以了) . 

又根据假设, 存在 \(\mu\)-零集 \(E_0\), 使得
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x) = f(x), \quad x \in E_1 = E - E_0,
\]
将 \(\mu\)-零集 \(E \cap E_0\) 放入被控掉的集中, 由此可知, 我们只要在 \(E_1\) 上证明定理成立即可. 记
\[
E_{m,k} = E_1 \left( |f_m - f| \leqslant \frac{1}{k} \right),
\]
作 \(B_{n,k} = \bigcap\limits_{m=n}^{\infty} E_{m,k} = E_1 \left( |f_m - f| \leqslant \frac{1}{k}, m = n, n+1, \dots \right)\). 对于任意取的一列趋向无限大的自然数列 \(\{n_k\}\), 作集
\begin{equation}
	F = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} B_{n_k,k} = E_1 \left( |f_m - f| \leqslant \frac{1}{k}, m \geqslant n_k, k = 1, 2, \dots \right) \label{3.2.13}
\end{equation}
那么, 对任何 \(\varepsilon > 0\), 只要取 \(k_0 > \frac{1}{\varepsilon}\), 当 \(m \geqslant n_{k_0}\) 时, 对一切 \(x \in F\), 就有
\begin{equation}
	|f_m(x) - f(x)| \leqslant \frac{1}{k_0} < \varepsilon \label{3.2.14}
\end{equation}
即 \(\{f_n\}\) 在 \(F\) 上一致收敛于 \(f\). 

剩下的便是要证明: 对处处收敛于 \(f\) 的可测函数列 \(\{f_n\}\) 和任何 \(\delta > 0\), 必可选出 \(\{n_k\}\), 使得所作可测集 \(F\) 适合 \(\mu(E - F) < \delta\). 然后就取 \(E_\delta = F\) 便得到定理的结论. 

将 \eqref{3.2.3} 中 \(\varepsilon\) 取为 \(\frac{1}{k}\), 那么
 \[\lim\limits_{n \to \infty} B_{n,k} = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_{n,k} = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \bigcap\limits_{m=n}^{\infty} E_{m,k} = E_1,\] 
再由Lecture 5 定理 6 的 9 得到
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \mu(B_{n,k}) = \mu(E_1) = \mu(E).
\]
因为 \(\mu(E) < \infty\), 所以对任何 \(\delta > 0\), 可以取 \(n_k\) 充分大, 使得
\begin{equation}
	\mu (E) - \mu (B_{n_k, k}) < \frac{\delta}{2^k} \label{3.2.15}
\end{equation}
而且依次取 \(n_k > n_{k-1}\), 以子列 \(\{n_k\}\) 按 \eqref{3.2.13} 作出集 \(F\), 由此得到
\[
\mu (E - F) = \mu \left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} (E - B_{n_k, k}) \right) \leqslant \sum\limits_{k=1}^{\infty} \mu (E - B_{n_k, k}) \leqslant \delta \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \delta
\] 
\end{proof}

应注意, 定理中 \(\mu(E) < \infty\) 这个条件是不能去掉的. 例如例 \ref{eg4} 中的函数列 \(\{f_n(x)\}\) 是处处收敛于 $1$ 的. 但是, 对任何正数 \(\delta\) 以及任何可测集 \(E_0\), 当 \(\mu (E - E_\delta) < \delta\) 时, \(\{f_n\}\) 在 \(E_0\) 上不能一致收敛于 $1$. 事实上, 由于假设 \(\mu([0, \infty) - E_\delta) < \delta\), 所以 \(E_0\) 不能全部包含在 \((0, n]\) 中, 因而必有一点 \(x_n \in E_\delta \cap (n, \infty)\), \(f_n(x_n) = 0\). 这样, \(\{f_n\}\) 在 \(E_0\) 上就不能一致收敛于 $1$. 

\section{完全测度空间上的可测函数列的收敛}

从前两小节可以看出, 在讨论可测函数序列的收敛时, 由它们的几乎处处收敛或依测度收敛 (度量收敛) 并不能推出极限函数 \(f\) 是可测的, 往往需要在一个 \(\mu\)-零集的子集上修改函数值后才能成为可测函数. 其原因就是这两种收敛并不关心一个 \(\mu\)-零集的子集上函数值的情况. 可是在一般测度空间中, \(\mu\)-零集的子集可以是不可测的, 从函数的可测性来看, 是不能随便改动一个 \(\mu\)-零集的子集上的函数值的. 在完全测度空间上就不会发生上述问题了. 

\begin{definition}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是测度空间, 如果 \(\mu\) 是 \(R\) 上完全测度, 那么称 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是\textbf{完全测度空间}. 
\end{definition}

\begin{theorem}\label{thm3.2.9}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是完全测度空间. 
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item\label{thm3.2.9.1} 如果 \(E_0\) 是 \(\mu\)-零集, 那么定义在 \(E_0\) 上任何有限函数都是 \(E_0\) 上的可测函数. 
\item\label{thm3.2.9.2} 设 \(f, h\) 是 \(E\) 上的两个有限函数, 如果存在某个 \(\mu\)-零集 \(E_0\), 当 \(x \in E - E_0\) 时, \(f(x) = h(x)\). 那么 \(f\) 是 \(E\) 上可测的充要条件为 \(h\) 是 \(E\) 上可测函数. 
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
	\item[\ref{thm3.2.9.1}] 对任何实数 \(c\), \(E_0(f > c) \subseteq E_0\). 利用测度 \(\mu\) 的完全性, 从 \(\mu(E_0) = 0\) 立即可推出 \(E_0(f > c)\) 也是 \(\mu\)-零集, 所以 \(f\) 是可测的. 
	\item[\ref{thm3.2.9.2}] 因为 \(\mu\) 是完全测度, 显然 \(E \cap E_0\) 也是 \(\mu\)-零集, 因此 \(E(f \neq h) (\subseteq (E \cap E_0))\) 也是 \(\mu\)-零集. 由此可知, \ref{thm3.2.9.2} 中假设的 \(\mu\)-零集 \(E_0\) 不妨就认为是 \(E(f \neq h)\), 即 \(E_0 = E(f \neq h)\). 记 \(E_1 = E - E_0\). 

如果 \(f\) 是 \(E\) 上可测函数, 那么 \(E\) 是可测集, 从而 \(E_1\) 也是可测集, 在 \(E_1\) 上 \(f = h\), 从而 \(h\) 是 \(E_1\) 上可测函数. 由于 \(\mu(E_0) = 0\), 由 \ref{thm3.2.9.1}, \(h\) 在 \(E_0\) 上是可测的. 因而 \(h\) 是 \(E = E_1 \cup E_0\) 上可测的. 

\(f\) 和 \(h\) 地位是对称的, 所以 \ref{thm3.2.9.2} 成立.
\end{enumerate}
\end{proof}

利用定理 \ref{3.2.9} 以及section \ref{section1},\ref{section2} 的结果, 很容易获得完全测度空间上如下结果 (读者自己证明). 

\begin{theorem}\label{thm3.2.1'}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是完全测度空间. 如果 \(E\) 上可测函数序列几乎处处收敛于有限函数 \(f\), 那么 \(f\) 必是 \(E\) 上可测函数. 
\end{theorem}

\begin{theorem}\label{thm3.2.2'}
设 \((X,\mathbf R, \mu)\) 是完全测度空间, \(\{f_n\}\)、\(\{h_n\}\) 是 \(E\) 上两个可测函数序列. 
\begin{enumerate}%[label=(\roman*)]
\item 如果 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\) (有限函数) , 那么必有子序列 \(\{f_{n_v}\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\), 从而 \(f\) 必是 \(E\) 上可测函数. 
\item 如果 \(\mu(E) < \infty\), 并且 \(f_n \aconv f\) (有限函数) , 那么 \(f_n \underset\mu\Longrightarrow f\). 
\item 如果 \(\mu(E) < \infty\), 那么 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\) (有限函数) 的充要条件是: 对任何 \(\{f_n\}\) 的子序列 \(\{f_{n_k}\}\), 必可再从中找出子序列在 \(E\) 上几乎处处收敛于 \(f\). 
\item 如果 \(\mu(E) < \infty\), \(f_n\underset\mu \Longrightarrow f\), \(h_n\underset\mu \Longrightarrow h\) (\(f, h\) 都是有限函数) , 那么
\begin{enumerate}%[label=\arabic*°]
\item 如果又有 \(f_n\underset\mu \Longrightarrow k\), 那么必有 \(k = f\)；
\item \(\alpha f_n + \beta h_n\underset\mu \Longrightarrow \alpha f + \beta h\) (这里 \(\alpha, \beta\) 是常数) ；
\item \(f_n h_n\underset\mu \Longrightarrow f h\)；
\item 当 \(h_n\) 和 \(h\) 几乎处处不等于零时, \(f_n / h_n\underset\mu \Longrightarrow f / h\). 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{theorem}

当然, 定理 7, 8 在完全测度空间上也成立. 

\section{Lebesgue可测函数的构造}

前面 (包括上一个Lecture) 讨论了可测函数的一般性质. 显然, 由于可测空间或测度空间本身的结构不同, 随之, 有些情况下可测函数的结构就简单, 而有些情况下就很复杂. 对一般分析数学来说, Lebesgue测度空间 \((\mathbb E^1,\mathbf L, m)\) 有着特别重要的地位, 它上面的可测函数的结构就很复杂. 在 Lecture 8-Section 5 中, 我们曾用 Borel 可测函数来描述它 (参见 Lecture 8 定理 27) . Borel 可测函数本身也是很复杂的, 在本小节中, 我们要用熟悉的``连续函数''来描述Lebesgue可测函数. 为此, 先介绍直线上任意集 \(E\) 上连续函数概念. 

设 \(E\) 是直线上的点集, \(f\) 是 \(E\) 上的一个函数. 设 \(x_0 \in E\), 如果对任何一个 \(\varepsilon > 0\), 必有 \(\delta > 0\), 使得当 \(x \in E\), 而且 \(|x - x_0| < \delta\) 时, 有
\[
|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon
\]
就称 \(x_0\) 是 \(f\) 的\textbf{连续点}. 和数学分析中一样, \(x_0\) 是 \(f\) 的连续点等价于: 对 \(E\) 中任何一个收敛于 \(x_0\) 的点列 \(\{x_n\}\), 成立着
\[
\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)
\]
如果 \(E\) 中每个点都是 \(f\) 的连续点, 就说 \(f\) 是 \(E\) 上的连续函数\footnote{如果一个函数 \(f\) 的定义域是 \(E_1\), \(E \subseteq E_1\), 我们说 \(f\) 是 \(E\) 上的连续函数是指把 \(f\) 限制在 \(E\) 上时, \(E\) 中每个点都是连续点. 如例 \ref{eg5} 中 \(D(x)\) 就是 \(E\) 上的连续函数. }. 

\begin{example}\label{eg5}
区间 \([0,1]\) 上的 Dirichlet 函数, 
\[
D(x) =
\begin{cases}
1, & x \text{为有理数} \\
0, & x \text{为无理数}
\end{cases}
\]
它在 \([0,1]\) 上没有一个连续点. 但如果用 \(E\) 表示 \([0,1]\) 中无理数全体, 而将 \(D(x)\) 限制在 \(E\) 上时, 所得到的函数 \(D(x)|_E\) 便是 \(E\) 上的常数函数零, 因而它是连续函数. 然而, \(D(x)|_E\) 与 \(D(x)\), 这两个函数的定义域不同, 不是同一函数. 
\end{example}

\begin{example}\label{eg6}
设 \(F_1, \dots, F_m\) 是直线上 \(m\) 个互不相交的闭集, 作 \(F = \bigcup\limits_{i=1}^m F_i\) 上函数
\[
f(x) = \alpha_i, \quad x \in F_i
\]
其中 \(\alpha_i\) 为常数, 那么 \(f\) 是 \(F\) 上的连续函数. 
\end{example}

\begin{proof}
任取 \(x_0 \in F_j\), 令证 \(x_0\) 是 \(f\) 的连续点. 任取 \(\{x_n\} \in F\), 且 \(x_n \to x_0\). \(\{x_n\}\) 中最多只有有限个点落在 \(F - F_j\) 中, 否则 \(x_0\) 将成为闭集 \(F - F_j = \bigcup\limits_{i \neq j} F_i\) 的极限点, 因而 \(x_0 \in F - F_j\). 这与假设 \(x_0 \in F_j\) 矛盾. 既然 \(\{x_n\}\) 中除有限个点外都属于 \(F_j\), 所以数列 \(\{f(x_n)\}\) 中除去有限个值外, \(f(x_n) = \alpha_j = f(x_0)\), 即 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)\). 因此 \(f\) 是 \(F\) 上的连续函数. 
\end{proof}

可同数学分析中一样地证明:\textbf{ 如果 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上一列连续函数, 而且 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上一致收敛于 \(f\) 时, 那么 \(f\) 必是 \(E\) 上的连续函数}. 

下面是Lebesgue可测函数构造定理. 

\begin{theorem}[鲁津]\label{thm3.2.10}
设 \(E\) 是直线上的Lebesgue可测集, \(f\) 是 \(E\) 上Lebesgue可测函数. 那么, 对任何 \(\delta > 0\), 必有 \(E\) 的闭子集 \(F_\delta\), 使得 \(m(E - F_\delta) < \delta\), 而且 \(f\) 是 \(F_\delta\) 上的连续函数. 
\end{theorem}

\begin{proof}
先设 \(m(E) < \infty\). 对每个自然数 \(k\), 作可测集
\[
E_{n,k} = E \left( \frac{n}{k} \leqslant f < \frac{n+1}{k} \right), \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots
\]
显然 \(E = \bigcup\limits_{n=-\infty}^{\infty} E_{n,k}\), 而且当 \(n \neq n^{\prime}\) 时, \(E_{n,k} \cap E_{n^{\prime},k} = \varnothing\). 因此 \(m(E) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} m(E_{n,k})\). 因为 \(m(E) < \infty\), 所以必有自然数 \(n_k\), 使得
\[
\left( \sum\limits_{n=-\infty}^{-n_k-1} + \sum\limits_{n=n_k+1}^{\infty} \right) m(E_{n,k}) < \frac{\delta}{2^{k+1}}
\]
当 \(|n| \leqslant n_k\) 时, 再作闭集 \(F_{n,k} \subseteq E_{n,k}\), 使得
\[
\sum\limits_{n=-n_k}^{n_k} m(E_{n,k} - F_{n,k}) < \frac{\delta}{2^{k+1}}
\]
记 \(F_k = \bigcup\limits_{n=-n_k}^{n_k} F_{n,k}\), 那么 \[E - F_k = \left( \bigcup\limits_{n=-\infty}^{-n_k-1} E_{n,k} \right) \cup \left( \bigcup\limits_{n=n_k+1}^{\infty} E_{n,k} \right) \cup \left( \bigcup\limits_{n=-n_k}^{n_k} (E_{n,k} - F_{n,k}) \right).\] 因此
\[
m(E - F_k) < \frac{\delta}{2^k}
\]
作 \(F_k\) 上的连续函数 \(f_k\) 如下: 当 \(x \in F_{n,k}\) 时, \(f_k(x) = \frac{n}{k}\). 由例 \ref{eg6} 知道 \(f_k\) 在 \(F_k\) 上是连续函数. 由 \(f_k\) 的定义, 易知当 \(x \in F_k\) 时, 
\[
0 \leqslant f(x) - f_k(x) \leqslant \frac{1}{k}
\]
因此, 在 \(F_0 = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} F_k\) 上连续函数列 \(f_k\) 一致收敛于 \(f\). 由和通关系式 \(E - F_0 = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} (E - F_k)\), 利用 \(m(E - F_k) < \frac{\delta}{2^k}\), 就得到 \(m(E - F_0) < \delta\). 

对于 \(m(E) = \infty\) 的情况留作习题.
\end{proof}

然而, 直线上任何闭集上的连续函数, 必可延拓成全直线上的连续函数. 

\begin{lemma}\label{lemma2}
设 \(F\) 是直线上的闭集, 函数 \(f\) 在 \(F\) 上连续, 那么必有直线上的连续函数 \(h\), 使得当 \(x \in F\) 时, \(f = h\). 
\end{lemma}

\begin{proof}
当 \(x \in F\) 时, 规定 \(h = f\). 把 \(F\) 的余集记为 \(O\), \(O = \bigcup\limits_{r} (a_r, b_r)\), \(\{(a_r, b_r)\}\) 是 \(O\) 的构成区间集. 如果 \((a_r, b_r)\) 是有限区间, 那么 \(a_r, b_r \in F\). 在 \((a_r, b_r)\) 上规定
\[
h(x) = f(a_r) \frac{b_r - x}{b_r - a_r} + f(b_r) \frac{x - a_r}{b_r - a_r}
\]
如果 \((a_r, b_r)\) 是无限区间, 例如 \(a_r = -\infty\), 那么 \(b_r \in F\), 在 \((-\infty, b_r)\) 上规定 \(h(x) = f(b_r)\). 如果是 \((a_r, \infty)\) 类型的余区间, 便在它的上面规定 \(h(x) = f(a_r)\). 

现在证明 \(h(x)\) 是全直线上的连续函数: 显然 \(O\) 中的每个点都是 \(h\) 的连续点. 再证 \(F\) 中的点也是 \(h\) 的连续点就可以了. 事实上, 任取 \(x_0 \in F\), 对任何 \(\varepsilon > 0\), 必有 \(\delta > 0\), 使当 \(x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap F\) 时
\[
|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon
\]
如果 \((x_0 - \delta, x_0)\) 中不含 \(F\) 中的点, 那么 \(x_0\) 必是某构成区间 \((a_r, b_r)\) 的有端点. 又因为 \(h\) 在 \((x_0 - \delta, x_0)\) 中是线性函数, 所以必存在 \(\eta\), 使得当 \(x \in (\eta, x_0)\) 时
\[
|h(x) - h(x_0)| < \varepsilon
\]
如果 \((x_0 - \delta, x_0)\) 中含有 \(F\) 中的点, 例如 \(\eta\), 那么当 \(x \in [\eta, x_0) \cap F\) 时, 
\[
h(x) = f(x), \quad h(x_0) = f(x_0), \quad \text{因此} \quad |h(x) - h(x_0)| < \varepsilon
\]
如果 \(x \in [\eta, x_0) - F\), 那么必有 \(F\) 的余区间 \((a_r, b_r)\), \(x \in (a_r, b_r) \subseteq (\eta, x_0)\), 由于 \(a_r, b_r \in [\eta, x_0] \cap F\), 所以由上述有
\[
|h(a_r) - h(x_0)| < \varepsilon, \quad |h(b_r) - h(x_0)| < \varepsilon
\]
然而 \(h(x)\) 的值介于 \(h(a_r), h(b_r)\) 之间, 因此 \(|h(x) - h(x_0)| < \varepsilon\). 这就证明了 \(x_0\) 是 \(h\) 的左连续点. 同样, 可以证明 \(x_0\) 也是 \(h\) 的右连续点, 因此 \(x_0\) 是 \(h\) 的连续点.
\end{proof}

利用这个引理, 就得到鲁津定理的另一种形式: 

\begin{theorem}[鲁津]\label{thm3.2.11}
设 \(E\) 是直线上的Lebesgue可测集, \(f\) 是 \(E\) 上Lebesgue可测函数. 那么对任何 \(\delta > 0\), 必然有直线上的连续函数 \(h\), 使得
\[
m(E(f \ne h)) < \delta
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
因为对每个 \(\delta > 0\), 存在 \(E\) 的闭子集 \(F_\delta\), 使得 \(m(E - F_\delta) < \delta\), 而且 \(f\) 在 \(F_\delta\) 上是连续的, 把 \(f\) 延拓成直线上的连续函数 \(h\), 那么 \(E(f \ne h) \subseteq E - F_\delta\), 因此 \(m(E(f \ne h)) < \delta\).
\end{proof}

\begin{corollary}
设 \(E\) 是直线上Lebesgue可测集, \(f\) 是 \(E\) 上Lebesgue可测函数, 并且存在常数 \(M > 0\), 使得 \(|f| \leqslant M\) 在 \(E\) 上成立. 那么对任何 \(\delta > 0\), 必存在直线上连续函数 \(h\), 满足 \(|h| \leqslant M\), \(m(E(f \ne h)) < \delta\). 
\end{corollary}

\begin{proof}
从引理 \ref{lemma2} 中 \(h\) 的作法立即可知 \(|h| \leqslant M\). 再由定理 \ref{thm3.2.11} 便证毕. 
\end{proof}

读者注意, 这一Section中的鲁津定理的证明中用到连续函数、闭集以及闭集上连续函数可以延拓成全空间上连续函数, 所以鲁津定理是不能在一般测度空间中推广的. 

\end{document}